Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + 2 \cos (x π)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 3} \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 \sin (lim_{x \to 3} x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Этап 4

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 lim_{x \to 3} \cos (x π)$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (lim_{x \to 3} x π)$

Этап 7

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$4 \sin (3 \cdot π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$4 \sin (π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 \sin (0) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9.1.5

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Этап 9.1.6

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$0 + 2 \cos (3 \cdot π)$

Этап 9.1.7

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Этап 9.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Этап 9.1.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.10

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Этап 9.1.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$