Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} 1 - \frac{\sin (\frac{π}{2} - x - 3)}{\sin (2 x + 6)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{\sin (\frac{π}{2} - x - 3)}{\sin (2 x + 6)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π}{2} - x - 3) \frac{1}{\sin (2 x + 6)})$

Этап 1.2

Запишем $\sin (\frac{π}{2} - x - 3)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\frac{\sin (\frac{π}{2} - x - 3)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x + 6)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $\sin (\frac{π}{2} - x - 3)$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π}{2} - x - 3) \frac{1}{\sin (2 x + 6)})$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x + 6)}$ в $\csc (2 x + 6)$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π}{2} - x - 3) \csc (2 x + 6))$

Этап 2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2} - 3) \csc (2 x + 6))$

Этап 2.2

Объединим $- x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} - 3) \csc (2 x + 6))$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - x \cdot 2}{2} - 3) \csc (2 x + 6))$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - x \cdot 2}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 2.5

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - x \cdot 2}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - x \cdot 2 - 3 \cdot 2}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 3

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - 2 x - 3 \cdot 2}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 3.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} 1 - (\sin (\frac{π - 2 x - 6}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 1 - (\sin (\frac{π - 2 x - 6}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $- 3$ слева, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to {(- 3)}^{+}} 1 - (\sin (\frac{π - 2 x - 6}{2}) \csc (2 x + 6))$

Этап 7

Когда $x$ стремится к $- 3$ справа, функция неограниченно убывает.

$- \infty$

Этап 8

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны, предел не существует.

$Не существует$