Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 9}{x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x^{2} \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt[3]{5 x + 7}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} 5 x + 7}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{lim_{x \to - 3} 5 x + lim_{x \to - 3} 7}}$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}}$

Этап 9

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 lim_{x \to - 3} x + 7}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{- 3 + 9}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $- 3$ и $9$ .

$\frac{6}{{(- 3)}^{2} \cdot \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{5 \cdot - 3 + 7}}$

Этап 11.2.2

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{- 15 + 7}}$

Этап 11.2.3

Добавим $- 15$ и $7$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{- 8}}$

Этап 11.2.4

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{6}{9 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}}$

Этап 11.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{6}{9 \cdot - 2}$

Этап 11.3

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{6}{- 18}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель $6$ и $- 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (1)}{- 18}$

Этап 11.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $- 18$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 3}$

Этап 11.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 3}$

Этап 11.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 3}$

Этап 11.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{3}$