Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{8 x - 9}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + 5 x - 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 5 x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 6

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - 9}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to - 3} 8 x - lim_{x \to - 3} 9}$

Этап 8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 9}$

Этап 9

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 9}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $3 {(- 3)}^{2} + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12$ и $8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2}) + 5 \cdot - 3 - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $5 \cdot - 3$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2}) - (- 5 \cdot - 3) - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 {(- 3)}^{2}) - (- 5 \cdot - 3)$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 \cdot 12}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 12$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 (12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3) - 1 (12)$ .

$\frac{- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.6

Перепишем $- (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ в виде $- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ .

$\frac{- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{8 \cdot - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.1.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)}{- 1 \cdot 9 - 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.8

Вынесем множитель $3$ из $- 1 (- 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 12)$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{- 1 \cdot 9 - 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot 9$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3) - 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.9.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cdot 8$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3) + 3 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 11.1.9.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 1 \cdot 3) + 3 (- 1 \cdot 8)$ .

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}$

Этап 11.1.9.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4))}{3 (- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}$

Этап 11.1.9.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 9 - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 1 (- 9 - 5 \cdot - 1 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 (- 9 + 5 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.2.4

Добавим $- 9$ и $5$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 4)}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.2.5

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 1 \cdot 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 3 - 1 \cdot 8}$

Этап 11.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 3 - 8}$

Этап 11.3.3

Вычтем $8$ из $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{- 11}$

Этап 11.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{- 11}$

Этап 11.5

Разделим $0$ на $- 11$ .

$0$