Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{1 x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Этап 10

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + 3}}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 3}}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}}$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3 \sqrt{9 + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15.1.2

Добавим $9$ и $7$ .

$\frac{3 \sqrt{16}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Этап 15.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{6 + 3}}$

Этап 15.2.3

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{9}}$

Этап 15.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{3^{2}}}$

Этап 15.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 1 \cdot 3}$

Этап 15.2.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 3}$

Этап 15.2.7

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3}$

Этап 15.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{3}$

Этап 15.4

Разделим $12$ на $3$ .

$4$