Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 7

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.3

Умножим $- 3$ на $81$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.4

Добавим $2$ и $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.5

Вычтем $243$ из $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1}}$

Этап 12.8

Вычтем $1$ из $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{8}}$

Этап 12.9

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Сократим общий множитель $- 226$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 226$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 (- 113)}{8}}$

Этап 12.9.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Этап 12.9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Этап 12.9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{\frac{- 113}{4}}$

Этап 12.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt[3]{- \frac{113}{4}}$

Этап 12.10

Перепишем $- \frac{113}{4}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{113}{4}}$

Этап 12.10.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}}$

Этап 12.11

Вынесем члены из-под знака корня.

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Этап 12.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Этап 12.13

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{113}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 12.14

Умножим $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 12.15

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.15.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 12.15.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 12.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 12.15.4

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 12.15.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.15.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 12.15.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 12.15.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 12.15.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.15.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 12.15.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 12.15.5.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 12.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.16.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 12.16.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 12.16.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.16.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 12.16.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 12.16.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{\sqrt[3]{113} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 12.16.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.16.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{2 \sqrt[3]{113 \cdot 2}}{4}$

Этап 12.16.5.2

Умножим $113$ на $2$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{4}$

Этап 12.17

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{226}$ .

$- \frac{2 (\sqrt[3]{226})}{4}$

Этап 12.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Этап 12.17.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Этап 12.17.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Десятичная форма:

$- 3.04559967 \dots$