Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$

Этап 1

Найдем предел $v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$v^{2} (3 v - 4) (9 - v^{2})$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(v^{2} (3 v) + v^{2} \cdot - 4) (9 - v^{2})$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 v^{2} v + v^{2} \cdot - 4) (9 - v^{2})$

Этап 2.3

Перенесем $- 4$ влево от $v^{2}$ .

$(3 v^{2} v - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Этап 2.4

Умножим $v^{2}$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $v$ .

$(3 (v \cdot v^{2}) - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Этап 2.4.2

Умножим $v$ на $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$(3 (v^{1} v^{2}) - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 v^{1 + 2} - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(3 v^{3} - 4 \cdot v^{2}) (9 - v^{2})$

$(3 v^{3} - 4 v^{2}) (9 - v^{2})$

Этап 2.5

Развернем $(3 v^{3} - 4 v^{2}) (9 - v^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v^{3} (9 - v^{2}) - 4 v^{2} (9 - v^{2})$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v^{3} \cdot 9 + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} (9 - v^{2})$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v^{3} \cdot 9 + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $9$ на $3$ .

$27 v^{3} + 3 v^{3} (- v^{2}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{3} v^{2} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.3

Умножим $v^{3}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перенесем $v^{2}$ .

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 (v^{2} v^{3}) - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{2 + 3} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.3.3

Добавим $2$ и $3$ .

$27 v^{3} + 3 \cdot - 1 v^{5} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 4 v^{2} \cdot 9 - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.5

Умножим $9$ на $- 4$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 v^{2} (- v^{2})$

Этап 2.6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{2} v^{2}$

Этап 2.6.7

Умножим $v^{2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.7.1

Перенесем $v^{2}$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 (v^{2} v^{2})$

Этап 2.6.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{2 + 2}$

Этап 2.6.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} - 4 \cdot - 1 v^{4}$

Этап 2.6.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$27 v^{3} - 3 v^{5} - 36 v^{2} + 4 v^{4}$