Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x + 2}{x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Этап 3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + x}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 9

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + 3)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{5}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + 3)}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{5}{3^{2} (\sqrt{9} + 3)}$

Этап 11.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{5}{3^{2} (\sqrt{3^{2}} + 3)}$

Этап 11.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{3^{2} (3 + 3)}$

Этап 11.2.4

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{5}{3^{2} \cdot 6}$

Этап 11.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{5}{9 \cdot 6}$

Этап 11.3

Умножим $9$ на $6$ .

$\frac{5}{54}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{54}$

Десятичная форма:

$0.0\overline{925}$