Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{9 - x}{3 - \sqrt{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - x}{lim_{x \to 3} 3 - \sqrt{x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 - \sqrt{x}}$

Этап 3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 - \sqrt{x}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x}{3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x}{3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{9 - 3}{3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{9 - 3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{6}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Умножим $\frac{6}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Этап 8.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{6 (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.5

Упростим.

$\frac{6 (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 8.6.2

Разделим $3 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$3 + \sqrt{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$4.73205080 \dots$