Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 9 x^{2} + 18 x}{x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 9 x^{2} + 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 9 x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 18 x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 6

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 6 x^{2} + 9 x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} 6 x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Этап 9

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 9 x}$

Этап 11

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 lim_{x \to 3} x}$

Этап 12.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3$ и $3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3^{2} + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- 3 \cdot 3^{2}) + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3^{2} + 3 (- 3 \cdot 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 18 \cdot 3}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.4

Вынесем множитель $3$ из $18 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 3 (6 \cdot 3)}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2}) + 3 (6 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3^{3} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $6 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot 3^{2} + 3 (2 \cdot 3^{2}) + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3^{2} + 3 (2 \cdot 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 9 \cdot 3}$

Этап 13.1.6.4

Вынесем множитель $3$ из $9 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 3 (3 \cdot 3)}$

Этап 13.1.6.5

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 3 (3 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)}$

Этап 13.1.6.6

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot (3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3)}{3 \cdot (3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3)}$

Этап 13.1.6.7

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3^{2} - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3$ и $3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- 3^{2}) + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3 + 3 (- 3^{2})$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2}) + 6 \cdot 3}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.4

Вынесем множитель $3$ из $6 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2}) + 3 (2 \cdot 3)}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot (3 - 3^{2}) + 3 (2 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.6.2

Вынесем множитель $3$ из $2 \cdot 3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot 3 + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3 + 3 (2 \cdot 3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 3}$

Этап 13.2.6.4

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 (3)}$

Этап 13.2.6.5

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot (3 + 2 \cdot 3) + 3 (3)$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3 + 3)}$

Этап 13.2.6.6

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot (3 - 3^{2} + 2 \cdot 3)}{3 \cdot (3 + 2 \cdot 3 + 3)}$

Этап 13.2.6.7

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - 3^{2} + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.3.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{3 - 9 + 2 \cdot 3}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 - 9 + 6}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.3.4

Вычтем $9$ из $3$ .

$\frac{- 6 + 6}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.3.5

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot 3 + 3}$

Этап 13.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0}{3 + 6 + 3}$

Этап 13.4.2

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{0}{9 + 3}$

Этап 13.4.3

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{0}{12}$

Этап 13.5

Разделим $0$ на $12$ .

$0$