Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} (4 x - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} (\frac{4 x (x - 3)}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}) (6 + x - x^{2})$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3} (6 + x - x^{2})$

Этап 2

Умножим $\frac{4 x (x - 3) - 2}{x - 3}$ на $6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} (4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - 2 \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{(lim_{x \to 3} 4 x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x (x - 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} x - 3 - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - lim_{x \to 3} 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 3} 6 + x - x^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 3} 6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.9

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(4 lim_{x \to 3} x \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.11

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{(4 \cdot 3 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.12.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(12 \cdot (3 - 3) - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.1.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{(12 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$\frac{(0 - 1 \cdot 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(0 - 2) \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 3^{2})}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.12.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.3.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 2 \cdot (6 + 3 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.4

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{- 2 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.5

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{- 2 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.2.12.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 3.1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x (x - 3) - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - 12 x - 2) (6 + x - x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 2$ и $g (x) = 6 + x - x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) \frac{d}{d x} [6 + x - x^{2}] + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.4

По правилу суммы производная $6 + x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - (2 x)) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.11

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 12 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.12

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.14

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.15

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.17

Умножим $- 12$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.18

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.19

Добавим $8 x - 12$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x)) + 1 ((6 + x - x^{2}) (8 x - 12))$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 ((4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12))}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.2

Умножим $(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(4 x^{2} - 12 x - 2) (1 - 2 x) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 3} \frac{(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2) + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.1

Развернем $(1 - 2 x) (4 x^{2} - 12 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$lim_{x \to 3} \frac{1 (4 x^{2}) + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.2.1

Умножим $4 x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} + 1 (- 12 x) + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.2

Умножим $- 12 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x + 1 \cdot - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 x (4 x^{2}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{2 + 1} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 2 \cdot 4 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} - 2 \cdot - 12 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.2.10

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.3

Добавим $4 x^{2}$ и $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 12 x - 2 - 8 x^{3} + 4 x + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.4

Добавим $- 12 x$ и $4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + (6 + x - x^{2}) (8 x - 12)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.5

Развернем $(6 + x - x^{2}) (8 x - 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 6 (8 x) + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.6.1

Умножим $8$ на $6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x + 6 \cdot - 12 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.2

Умножим $6$ на $- 12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + x (8 x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x \cdot x + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.6.4.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} + x \cdot - 12 - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.5

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 \cdot x - x^{2} (8 x) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.6.7.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.4.6.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.8

Умножим $- 1$ на $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 12}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.6.9

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 48 x - 72 + 8 x^{2} - 12 x - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.7

Вычтем $12 x$ из $48 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 + 8 x^{2} - 8 x^{3} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.4.8

Добавим $8 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{28 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3} + 20 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.5

Добавим $28 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} - 8 x - 2 - 8 x^{3} + 36 x - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.6

Добавим $- 8 x$ и $36 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 2 - 8 x^{3} - 72 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.7

Вычтем $72$ из $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 8 x^{3} - 74 - 8 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.20.8

Вычтем $8 x^{3}$ из $- 8 x^{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.3.21

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.3.23

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1 + 0}$

Этап 3.3.24

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74}{1}$

Этап 3.4

Разделим $48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + 28 x - 16 x^{3} - 74$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} 48 x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.2

Вынесем член $48$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$48 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 28 x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.4

Вынесем член $28$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 16 x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.5

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 74$

Этап 4.7

Найдем предел $74$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$48 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 lim_{x \to 3} x - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$48 \cdot 3^{2} + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$48 \cdot 9 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 6.1.2

Умножим $48$ на $9$ .

$432 + 28 \cdot 3 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 6.1.3

Умножим $28$ на $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 3^{3} - 1 \cdot 74$

Этап 6.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$432 + 84 - 16 \cdot 27 - 1 \cdot 74$

Этап 6.1.5

Умножим $- 16$ на $27$ .

$432 + 84 - 432 - 1 \cdot 74$

Этап 6.1.6

Умножим $- 1$ на $74$ .

$432 + 84 - 432 - 74$

Этап 6.2

Добавим $432$ и $84$ .

$516 - 432 - 74$

Этап 6.3

Вычтем $432$ из $516$ .

$84 - 74$

Этап 6.4

Вычтем $74$ из $84$ .

$10$