Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3 - 4 k}{2}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 13}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k - \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{29} k$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{29} \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{3}{2}) (29)$

Этап 2.2.3

Умножим $(\frac{3}{2}) (29)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $29$ .

$\frac{3 \cdot 29}{2}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $3$ на $29$ .

$\frac{87}{2}$

Этап 2.3

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{29} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{29 (29 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $29$ и $1$ .

$- 2 \frac{29 \cdot 30}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $29$ на $30$ .

$- 2 (\frac{870}{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{870}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{870}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 870$

Этап 2.3.3.3

Умножим $- 1$ на $870$ .

$- 870$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{87}{2} - 870$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $- 870$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} - 870 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.5.2

Объединим $- 870$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{87}{2} + \frac{- 870 \cdot 2}{2}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{87 - 870 \cdot 2}{2}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 870$ на $2$ .

$\frac{87 - 1740}{2}$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $1740$ из $87$ .

$\frac{- 1653}{2}$

Этап 2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1653}{2}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 k = \sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2} - 2 \sum_{k = 1}^{12} k$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2.2

Подставим значения в формулу.

$(\frac{3}{2}) (12)$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{3}{2} (2 (6))$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} (2 \cdot 6)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 6$

Этап 3.2.3.2

Умножим $3$ на $6$ .

$18$

Этап 3.3

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{12} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Добавим $12$ и $1$ .

$- 2 \frac{12 \cdot 13}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $12$ на $13$ .

$- 2 (\frac{156}{2})$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{156}{2}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{156}{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 156$

Этап 3.3.3.3

Умножим $- 1$ на $156$ .

$- 156$

Этап 3.4

Сложим результаты суммирования.

$18 - 156$

Этап 3.5

Вычтем $156$ из $18$ .

$- 138$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- \frac{1653}{2} + 138$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $138$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + 138 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2

Объединим $138$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1653}{2} + \frac{138 \cdot 2}{2}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1653 + 138 \cdot 2}{2}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $138$ на $2$ .

$\frac{- 1653 + 276}{2}$

Этап 5.4.2

Добавим $- 1653$ и $276$ .

$\frac{- 1377}{2}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1377}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1377}{2}$

Десятичная форма:

$- 688.5$

Форма смешанных чисел:

$- 688 \frac{1}{2}$