Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{x + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 6

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 10

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}$

Этап 12

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.2

Добавим $9$ и $7$ .

$\frac{\sqrt{16} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 5}}{3 + 2}$

Этап 14.1.7

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{4 + \sqrt{4}}{3 + 2}$

Этап 14.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{3 + 2}$

Этап 14.1.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 + 2}{3 + 2}$

Этап 14.1.10

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6}{3 + 2}$

Этап 14.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{6}{5}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6}{5}$

Десятичная форма:

$1.2$