Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{x - 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 1}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} v (x^{2} - x - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $v (x^{2} - x - 2)$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{v (3^{2} - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{v (9 - 1 \cdot 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{v (9 - 3 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.3

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{v (6 - 2)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{3 - 1}}$

Этап 6.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{v (4)}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{v (4) \sqrt{2}}{2}$