Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{1}{x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Этап 5

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 2}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{3 - 1 \cdot 2}$

Этап 9.1.2

Объединим.

$\frac{6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})}{6 (3 - 1 \cdot 2)}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 6 (- \frac{1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{2 + 6 (\frac{- 1}{2})}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 + 2 (3) \frac{- 1}{2}}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + 2 \cdot 3 \frac{- 1}{2}}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 3 \cdot - 1}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 3}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.4

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{- 1}{18 + 6 (- 1 \cdot 2)}$

Этап 9.5.2

Умножим $6 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 1}{18 + 6 \cdot - 2}$

Этап 9.5.2.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{- 1}{18 - 12}$

Этап 9.5.3

Вычтем $12$ из $18$ .

$\frac{- 1}{6}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$- 0.1\overline{6}$