Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} - 3}{\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{3 x} - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{3 x} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} 3 x} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to 3} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{2 x - 4} - lim_{x \to 3} \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 2 x - 4} - lim_{x \to 3} \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 4} - lim_{x \to 3} \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4} - lim_{x \to 3} \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 3} \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $\sqrt{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{6 - 1 \cdot 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{6 - 4} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вычтем $4$ из $6$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 x} - 3}{\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{3 x} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.3.13

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x - 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 4}$ в виде ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.12

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.13

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.15

Объединим $\frac{{(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.16

Перенесем $2$ влево от ${(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot {(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.17

Перенесем ${(2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2}{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.18

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2}{2 {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.7.19

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- \sqrt{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $\frac{1}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{{(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $3^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x}} {(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.5.3

Перепишем ${(2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2 x - 4}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x}} \sqrt{2 x - 4}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x}}$ и $\sqrt{2 x - 4}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 x - 4}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 (2 x - 4)}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 (2 (x) - 4)}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 (2 x + 2 \cdot - 2)}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 (2 (x - 2))}}{2 \sqrt{x}}$

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3 \cdot 2 (x - 2)}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.4

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 (x - 2)}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{6 (x - 2)}}{\sqrt{x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} \sqrt{6 (x - 2)}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 3} 6 (x - 2)}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 2.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 lim_{x \to 3} x - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 2.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 (3 - 1 \cdot 2)}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6 (3 - 1 \cdot 2)}}{\sqrt{3}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\sqrt{6 (3 - 1 \cdot 2)}$ и $\sqrt{3}$ под одним знаком корня.

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{6 (3 - 1 \cdot 2)}{3}}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{6 (3 - 2)}{3}}$

Этап 4.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{6 \cdot 1}{3}}$

Этап 4.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим выражение $\frac{6 \cdot 1}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \cdot 1$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 (2 \cdot 1)}{3}}$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 (2 \cdot 1)}{3 (1)}}$

Этап 4.4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 (2 \cdot 1)}{3 \cdot 1}}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{1}}$

Этап 4.4.2

Разделим $2 \cdot 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \sqrt{2}$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$