Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 5

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 5 x - 7}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 7}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 7}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 7}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 7}$

Этап 10

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 7}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 10}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 7}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 10}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 7}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 7}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 9 - 1 \cdot 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{9 + 9 - 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.1.4

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{18 - 10}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.1.5

Вычтем $10$ из $18$ .

$\frac{8}{3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $3$ на $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{8}{3^{1} \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8}{3^{1 + 2} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{8}{3^{3} + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{8}{27 + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{8}{27 + 15 - 1 \cdot 7}$

Этап 12.2.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{8}{27 + 15 - 7}$

Этап 12.2.5

Добавим $27$ и $15$ .

$\frac{8}{42 - 7}$

Этап 12.2.6

Вычтем $7$ из $42$ .

$\frac{8}{35}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{35}$

Десятичная форма:

$0.2\overline{285714}$