Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{x}{{(x - 3)}^{3}}} - \frac{1}{27}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{x}{{(x - 3)}^{3}}} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} 1 \frac{{(x - 3)}^{3}}{x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{{(x - 3)}^{3}}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 3)}^{3}}{x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x - 3)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - lim_{x \to 3} \frac{1}{27}$

Этап 7

Найдем предел $\frac{1}{27}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{27}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 3)}^{3}}{lim_{x \to 3} x} - \frac{1}{27}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 3)}^{3}}{3} - \frac{1}{27}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{{(3 - 3)}^{3}}{3} - \frac{1}{27}$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0^{3}}{3} - \frac{1}{27}$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{1}{27}$

Этап 9.3.2

Разделим $0$ на $3$ .

$0 - \frac{1}{27}$

Этап 9.4

Вычтем $\frac{1}{27}$ из $0$ .

$- \frac{1}{27}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{27}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{037}$