Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Этап 1.6

Добавим $2$ и $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{- 6 x + 11}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{- 6 x + 11}$ в виде $e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{- 6 x + 11})$ , вынося $- 6 x + 11$ из логарифма.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} - 6 x + 11 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Этап 3.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Этап 3.5

Найдем предел $11$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Этап 3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(9 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$(9 - 6 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(9 - 6 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.3

Вычтем $6$ из $9$ .

$(3 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$0 e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.5

Умножим $- 6$ на $3$ .

$0 e^{- (- 18 + 11) \cdot \ln (3)}$

Этап 5.6

Добавим $- 18$ и $11$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Этап 5.7

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Этап 5.8

Упростим $7 \cdot \ln (3)$ путем переноса $7$ под логарифм.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Этап 5.9

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$0 \cdot 3^{7}$

Этап 5.10

Возведем $3$ в степень $7$ .

$0 \cdot 2187$

Этап 5.11

Умножим $0$ на $2187$ .

$0$