Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\sin^{2} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 3.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Этап 7

Объединим $- u]_{1}^{0}$ и $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ в $0$ и в $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 8.2.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Этап 8.2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 8.2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 8.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 8.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Этап 8.2.11.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Этап 8.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{2}{3}$

Этап 8.2.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Этап 8.2.14

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Этап 8.2.15

Добавим $0$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$