Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Этап 8.2.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $512$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $512$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Этап 8.3.2

Перепишем $\sqrt{\frac{256}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.4

Умножим $\frac{16}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $\frac{16}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Этап 8.3.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Этап 8.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Этап 8.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Этап 8.3.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Этап 8.3.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Этап 8.3.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Этап 8.3.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Этап 8.3.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Этап 8.3.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $8$ из $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 8.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 8.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$1.15470053 \dots$