Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sin^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 8} x)}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (8)}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (8)}{8^{2}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим.

$\frac{1 \sin^{2} (8)}{3 \cdot 8^{2}}$

Этап 7.2

Умножим $\sin^{2} (8)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (8)}{3 \cdot 8^{2}}$

Этап 7.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sin^{2} (8)}{3 \cdot 64}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение $\sin (8)$ .

$\frac{{0.1391731}^{2}}{3 \cdot 64}$

Этап 7.4.2

Возведем $0.1391731$ в степень $2$ .

$\frac{0.01936915}{3 \cdot 64}$

Этап 7.5

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{0.01936915}{192}$

Этап 7.6

Разделим $0.01936915$ на $192$ .

$0.00010088$