Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\cos^{2} (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 8} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\cos^{2} (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\cos^{2} (8)}{\sqrt{8}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем значение $\cos (8)$ .

$\frac{{0.99026806}^{2}}{\sqrt{8}}$

Этап 6.1.2

Возведем $0.99026806$ в степень $2$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{8}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0.98063084}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{0.98063084}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 6.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 6.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{0.98063084 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.5

Умножим $0.98063084$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{1.38682144}{2 \cdot 2}$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1.38682144}{4}$

Этап 6.7

Разделим $1.38682144$ на $4$ .

$0.34670536$