Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{4^{x} - 4^{- x}}{4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4^{x} - 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4^{x} - lim_{x \to 8} 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4^{- x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + 4^{- x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4^{x} + lim_{x \to 8} 4^{- x}}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 4^{- x}}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{lim_{x \to 8} - x}}$

Этап 9

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 8} x} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- lim_{x \to 8} x}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{lim_{x \to 8} x} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- lim_{x \to 8} x}}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4^{8} - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{65536 - 4^{- 8}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{65536 - \frac{1}{4^{8}}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.3

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{65536 - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.4

Чтобы записать $65536$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{65536 \cdot \frac{65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.5

Объединим $65536$ и $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{65536 \cdot 65536}{65536} - \frac{1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{65536 \cdot 65536 - 1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.7.1

Умножим $65536$ на $65536$ .

$\frac{\frac{4294967296 - 1}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.1.7.2

Вычтем $1$ из $4294967296$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{4^{8} + 4^{- 8}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + 4^{- 8}}$

Этап 11.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + \frac{1}{4^{8}}}$

Этап 11.2.3

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 + \frac{1}{65536}}$

Этап 11.2.4

Чтобы записать $65536$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{65536 \cdot \frac{65536}{65536} + \frac{1}{65536}}$

Этап 11.2.5

Объединим $65536$ и $\frac{65536}{65536}$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{65536 \cdot 65536}{65536} + \frac{1}{65536}}$

Этап 11.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{65536 \cdot 65536 + 1}{65536}}$

Этап 11.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $65536$ на $65536$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{4294967296 + 1}{65536}}$

Этап 11.2.7.2

Добавим $4294967296$ и $1$ .

$\frac{\frac{4294967295}{65536}}{\frac{4294967297}{65536}}$

Этап 11.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4294967295}{65536} \cdot \frac{65536}{4294967297}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель $65536$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4294967295}{65536} \cdot \frac{65536}{4294967297}$

Этап 11.4.2

Перепишем это выражение.

$4294967295 (\frac{1}{4294967297})$

Этап 11.5

Объединим $4294967295$ и $\frac{1}{4294967297}$ .

$\frac{4294967295}{4294967297}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4294967295}{4294967297}$

Десятичная форма:

$0.99999999 \dots$