Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{7 x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - 5 x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + 2 x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 5

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 8

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + 1}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 12

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 lim_{x \to 8} x + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.2

Умножим $16$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 2 \cdot 8 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.3

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt{1024 + 16 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.4

Добавим $1024$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{1040 + 8} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.5

Добавим $1040$ и $8$ .

$\frac{\sqrt{1048} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.6

Перепишем $1048$ в виде $2^{2} \cdot 262$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $1048$ .

$\frac{\sqrt{4 (262)} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{262} - 5 \cdot 8 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.8

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 40 + 1}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.1.9

Добавим $- 40$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{7 \cdot 8 + 1}$

Этап 15.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{56 + 1}$

Этап 15.2.2

Добавим $56$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{262} - 39}{57}$

Десятичная форма:

$- 0.11626617 \dots$