Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $\sin (3 \cdot 8)$ из $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Этап 11.3

Разделим дроби.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Этап 11.4

Перепишем $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ в виде произведения.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Этап 11.5

Запишем $\sin (3 \cdot 8)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Разделим $\sin (3 \cdot 8)$ на $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Этап 11.6.2

Переведем $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ в $\csc (5 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.7.2

Найдем значение $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.8

Разделим $0.40673664$ на $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.9

Умножим $3$ на $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.10

Найдем значение $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Этап 11.11

Умножим $5$ на $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Этап 11.12

Найдем значение $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Этап 11.13

Умножим $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Умножим $0.40673664$ на $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Этап 11.13.2

Умножим $0.05084208$ на $0.63276988$ .

$0.03217133$