Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Этап 10

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.2

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.4

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.1.6

Вычтем $2$ из $40$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 12.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 12.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Этап 12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

Этап 12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Этап 12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Этап 12.4

Перенесем $4$ влево от $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

Этап 12.5

Умножим $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 12.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Умножим $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 12.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 12.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 12.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 12.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 12.6.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 12.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

Этап 12.7

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

Этап 12.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 12.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 12.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

Этап 12.7.2.4

Разделим $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ на $1$ .

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Этап 12.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Этап 12.9

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Этап 12.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Этап 12.11

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Этап 12.12

Умножим $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Этап 12.12.2

Умножим $2$ на $10$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Этап 12.13

Умножим $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

Этап 12.13.2

Умножим $2$ на $38$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

Этап 12.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.1

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

Этап 12.14.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

Этап 12.14.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

Этап 12.14.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

Этап 12.14.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

Этап 12.14.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Этап 12.14.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

Этап 12.14.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Десятичная форма:

$0.45294804 \dots$