Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 7.999} \frac{(\frac{x}{x + 1}) - \frac{8}{9}}{x - 8}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7.999$ .

$\frac{lim_{x \to 7.999} (\frac{x}{x + 1}) - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7.999$ .

$\frac{lim_{x \to 7.999} \frac{x}{x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + lim_{x \to 7.999} 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - lim_{x \to 7.999} \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 6

Найдем предел $\frac{8}{9}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 8}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - lim_{x \to 7.999} 8}$

Этап 8

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7.999$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 7.999} x}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $7.999$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $7.999$ для $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{lim_{x \to 7.999} x + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7.999$ для $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{lim_{x \to 7.999} x - 1 \cdot 8}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $7.999$ для $x$ .

$\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $\frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$ на $\frac{(7.999 + 1) \cdot 9}{(7.999 + 1) \cdot 9}$ .

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9}{(7.999 + 1) \cdot 9} \cdot \frac{\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9}}{7.999 - 1 \cdot 8}$

Этап 10.1.2

Объединим.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 (\frac{7.999}{7.999 + 1} - \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 (7.999 - 1 \cdot 8)}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель $7.999 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вынесем множитель $7.999 + 1$ из $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

$\frac{(7.999 + 1) (9) \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(7.999 + 1) \cdot 9 \frac{7.999}{7.999 + 1} + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.2

Умножим $9$ на $7.999$ .

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- \frac{8}{9})}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{9}$ в числитель.

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot 9 \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.3.2

Вынесем множитель $9$ из $(7.999 + 1) \cdot 9$ .

$\frac{71.991 + 9 \cdot (7.999 + 1) \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{71.991 + 9 \cdot (7.999 + 1) \frac{- 8}{9}}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{71.991 + (7.999 + 1) \cdot - 8}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Добавим $7.999$ и $1$ .

$\frac{71.991 + 8.999 \cdot - 8}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.4.2

Умножим $8.999$ на $- 8$ .

$\frac{71.991 - 71.992}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.4.3

Вычтем $71.992$ из $71.991$ .

$\frac{- 0.001}{(7.999 + 1) \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Добавим $7.999$ и $1$ .

$\frac{- 0.001}{8.999 \cdot 9 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5.2

Умножим $8.999 \cdot 9 \cdot 7.999$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Умножим $8.999$ на $9$ .

$\frac{- 0.001}{80.991 \cdot 7.999 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5.2.2

Умножим $80.991$ на $7.999$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + (7.999 + 1) \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5.3

Добавим $7.999$ и $1$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 8.999 \cdot 9 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5.4

Умножим $8.999 \cdot 9 (- 1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.4.1

Умножим $8.999$ на $9$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 80.991 (- 1 \cdot 8)}$

Этап 10.5.4.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 + 80.991 \cdot - 8}$

Этап 10.5.4.3

Умножим $80.991$ на $- 8$ .

$\frac{- 0.001}{647.847009 - 647.928}$

Этап 10.5.5

Вычтем $647.928$ из $647.847009$ .

$\frac{- 0.001}{- 0.080991}$

Этап 10.6

Разделим $- 0.001$ на $- 0.080991$ .

$0.01234705$