Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{1}{2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 2}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 2}}$

Этап 12.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{4 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 2}}$

Этап 12.1.3

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{256 - 3 \cdot 8 + 2}}$

Этап 12.1.4

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{256 - 24 + 2}}$

Этап 12.1.5

Вычтем $24$ из $256$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{232 + 2}}$

Этап 12.1.6

Добавим $232$ и $2$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{234}}$

Этап 12.1.7

Перепишем $234$ в виде $3^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $234$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{9 (26)}}$

Этап 12.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{3^{2} \cdot 26}}$

Этап 12.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{16 - (3 \sqrt{26})}$

Этап 12.1.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$ на $\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$ .

$\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}} \cdot \frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$ на $\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$ .

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{(16 - 3 \sqrt{26}) (16 + 3 \sqrt{26})}$

Этап 12.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{256 + 48 \sqrt{26} - 48 \sqrt{26} - 9 {\sqrt{26}}^{2}}$

Этап 12.5

Упростим.

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{22}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{22}$

Десятичная форма:

$1.42259357 \dots$