Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} - x$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 1 + lim_{x \to - 8} x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + lim_{x \to - 8} x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} - 16}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{64 - 16}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $16$ из $64$ .

$\frac{48}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{48}{\sqrt{1 + 64}} + 8$

Этап 11.2.2.2

Добавим $1$ и $64$ .

$\frac{48}{\sqrt{65}} + 8$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{48}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\frac{48}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}} + 8$

Этап 11.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $\frac{48}{\sqrt{65}}$ на $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}} + 8$

Этап 11.2.4.2

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}} + 8$

Этап 11.2.4.3

Возведем $\sqrt{65}$ в степень $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}} + 8$

Этап 11.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}} + 8$

Этап 11.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}} + 8$

Этап 11.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{65}}^{2}$ в виде $65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{65}$ в виде $65^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 8$

Этап 11.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 8$

Этап 11.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}} + 8$

Этап 11.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}} + 8$

Этап 11.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{1}} + 8$

Этап 11.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65} + 8$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{48 \sqrt{65}}{65} + 8$

Десятичная форма:

$13.95366726 \dots$