Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{20 x^{4} - x^{3} + x + 9}{5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{4} - x^{3} + x + 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 3

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{20 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 9}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{lim_{x \to 8} 5 x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 9

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 13

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}$

Этап 14

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 9}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 9}$

Этап 15

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1