Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 7}{x - 5} + \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 7}{x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 6

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 8

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{lim_{x \to - 8} 3 - 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{lim_{x \to - 8} 3 - lim_{x \to - 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - lim_{x \to - 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Этап 12

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 lim_{x \to - 8} x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Этап 13

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Этап 14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 7}$

Этап 15

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 7}$

Этап 16

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Этап 17

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Этап 17.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Этап 17.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Этап 17.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128 + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.1.3

Добавим $128$ и $7$ .

$\frac{135}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{135}{- 8 - 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.2.2

Вычтем $5$ из $- 8$ .

$\frac{135}{- 13} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 4 \cdot 64}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.4.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 256}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.4.3

Вычтем $256$ из $3$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{2 \cdot - 8 + 7}$

Этап 18.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.5.1

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{- 16 + 7}$

Этап 18.1.5.2

Добавим $- 16$ и $7$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{- 9}$

Этап 18.1.6

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$- \frac{135}{13} + \frac{253}{9}$

Этап 18.2

Чтобы записать $- \frac{135}{13}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{135}{13} \cdot \frac{9}{9} + \frac{253}{9}$

Этап 18.3

Чтобы записать $\frac{253}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{135}{13} \cdot \frac{9}{9} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Этап 18.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $117$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $\frac{135}{13}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{13 \cdot 9} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Этап 18.4.2

Умножим $13$ на $9$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Этап 18.4.3

Умножим $\frac{253}{9}$ на $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253 \cdot 13}{9 \cdot 13}$

Этап 18.4.4

Умножим $9$ на $13$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253 \cdot 13}{117}$

Этап 18.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 135 \cdot 9 + 253 \cdot 13}{117}$

Этап 18.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.1

Умножим $- 135$ на $9$ .

$\frac{- 1215 + 253 \cdot 13}{117}$

Этап 18.6.2

Умножим $253$ на $13$ .

$\frac{- 1215 + 3289}{117}$

Этап 18.6.3

Добавим $- 1215$ и $3289$ .

$\frac{2074}{117}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2074}{117}$

Десятичная форма:

$17.72649572 \dots$