Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{4 - e^{x}}{4 + 3 e^{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 - e^{x}}{lim_{x \to 8} 4 + 3 e^{x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} 4 + 3 e^{x}}$

Этап 3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} 4 + 3 e^{x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 - e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 + 3 e^{x}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4 - e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 + lim_{x \to 8} 3 e^{x}}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{4 - e^{lim_{x \to 8} x}}{4 + lim_{x \to 8} 3 e^{x}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - e^{lim_{x \to 8} x}}{4 + 3 lim_{x \to 8} e^{x}}$

Этап 8

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4 - e^{lim_{x \to 8} x}}{4 + 3 e^{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4 - e^{8}}{4 + 3 e^{lim_{x \to 8} x}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4 - e^{8}}{4 + 3 e^{8}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - e^{8}}{4 + 3 e^{8}}$

Этап 10.2

Перепишем $e^{8}$ в виде ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(e^{4})}^{2}}{4 + 3 e^{8}}$

Этап 10.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = e^{4}$ .

$\frac{(2 + e^{4}) (2 - e^{4})}{4 + 3 e^{8}}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(2 + e^{4}) (2 - e^{4})}{4 + 3 e^{8}}$

Десятичная форма:

$- 0.33273722 \dots$