Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 2 x - 1} - \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 2 x - 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - 2 x - 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - 7 x + 3}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 10

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}$

Этап 11

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x + 3}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x + 3}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x + 3}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1} - \sqrt{8^{2} - 7 lim_{x \to 8} x + 3}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8^{2} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{64 - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\sqrt{64 - 16 - 1 \cdot 1} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{64 - 16 - 1} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.4

Вычтем $16$ из $64$ .

$\sqrt{48 - 1} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.5

Вычтем $1$ из $48$ .

$\sqrt{47} - \sqrt{8^{2} - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{47} - \sqrt{64 - 7 \cdot 8 + 3}$

Этап 13.7

Умножим $- 7$ на $8$ .

$\sqrt{47} - \sqrt{64 - 56 + 3}$

Этап 13.8

Вычтем $56$ из $64$ .

$\sqrt{47} - \sqrt{8 + 3}$

Этап 13.9

Добавим $8$ и $3$ .

$\sqrt{47} - \sqrt{11}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{47} - \sqrt{11}$

Десятичная форма:

$3.53902981 \dots$