Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (\sqrt{\frac{5}{x + 3}}) (x^{2} + 1)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{8 + 3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.2

Добавим $8$ и $3$ .

$\sqrt{\frac{5}{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.3

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{11}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.4

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.6.2

Умножим $5$ на $11$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

Этап 12.7

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (64 + 1)$

Этап 12.8

Добавим $64$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot 65$

Этап 12.9

Объединим $\frac{\sqrt{55}}{11}$ и $65$ .

$\frac{\sqrt{55} \cdot 65}{11}$

Этап 12.10

Перенесем $65$ влево от $\sqrt{55}$ .

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

Десятичная форма:

$43.82299106 \dots$