Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} {(- 3)}^{x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8}}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1}}{\sqrt{8}}}$

Этап 8.1.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{7}}{\sqrt{8}}}$

Этап 8.1.3

Возведем $- 3$ в степень $7$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{8}}}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{4 (2)}}}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Этап 8.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{\frac{- 2187}{2 \sqrt{2}}}$

Этап 8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{- \frac{2187}{2 \sqrt{2}}}$

Этап 8.4

Умножим $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- (\frac{2187}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Этап 8.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Этап 8.5.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Этап 8.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Этап 8.5.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Этап 8.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Этап 8.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 8.5.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 8.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 8.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 8.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 8.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

Этап 8.5.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 8.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Этап 8.7

Перепишем $- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}$ в виде ${(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Этап 8.7.2

Вынесем полную степень $27^{2}$ из $2187 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{4}}$

Этап 8.7.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 8.7.4

Перегруппируем дробь $\frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{27}{2})}^{2} (3 \sqrt{2}))}$

Этап 8.7.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{27}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{27 i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot 3 \sqrt{2}}$

Этап 8.7.6

Добавим круглые скобки.

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}$

Этап 8.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{27 i}{2} \sqrt{3 \sqrt{2}}$

Этап 8.9

Объединим $\frac{27 i}{2}$ и $\sqrt{3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{27 i \sqrt{3 \sqrt{2}}}{2}$