Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$

Этап 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{\frac{1}{x}})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (x)})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (x)})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\ln (e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 3.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{1}{8} \cdot \ln (8)$ из степени.

$\frac{1}{8} \cdot \ln (8) \ln (e)$

Этап 5.2

Упростим $\frac{1}{8} \ln (8)$ путем переноса $\frac{1}{8}$ под логарифм.

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \ln (e)$

Этап 5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $\ln (8^{\frac{1}{8}})$ на $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Десятичная форма:

$0.25993019 \dots$