Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 9 x^{3}} - 2 x^{2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 6

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 lim_{x \to 8} x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 7

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt{4 \cdot 4096 + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.2

Умножим $4$ на $4096$ .

$\sqrt{16384 + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt{16384 + 9 \cdot 512} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.4

Умножим $9$ на $512$ .

$\sqrt{16384 + 4608} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.5

Добавим $16384$ и $4608$ .

$\sqrt{20992} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.6

Перепишем $20992$ в виде $16^{2} \cdot 82$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Вынесем множитель $256$ из $20992$ .

$\sqrt{256 (82)} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.6.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$\sqrt{16^{2} \cdot 82} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$16 \sqrt{82} - 2 \cdot 8^{2}$

Этап 11.8

Возведем $8$ в степень $2$ .

$16 \sqrt{82} - 2 \cdot 64$

Этап 11.9

Умножим $- 2$ на $64$ .

$16 \sqrt{82} - 128$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$16 \sqrt{82} - 128$

Десятичная форма:

$16.88616221 \dots$