Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 8

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 9

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 64 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{192 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 11.3

Добавим $192$ и $5$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Этап 11.4

Умножим $6$ на $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 1 \cdot 8}}$

Этап 11.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 8}}$

Этап 11.6

Вычтем $8$ из $48$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$

Этап 11.7

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$

Этап 11.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Перепишем $40$ в виде $2^{3} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1.1

Вынесем множитель $8$ из $40$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{8 (5)}}$

Этап 11.8.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 5}}$

Этап 11.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$

Этап 11.9

Умножим $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 11.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 11.10.2

Перенесем $\sqrt[3]{5}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

Этап 11.10.3

Возведем $\sqrt[3]{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

Этап 11.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Этап 11.10.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Этап 11.10.6

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 11.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 11.10.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 11.10.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 11.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{1}}$

Этап 11.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5}$

Этап 11.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{5^{2}}}{2 \cdot 5}$

Этап 11.11.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{2 \cdot 5}$

Этап 11.12

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{10}$

Этап 11.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[3]{197 \cdot 25}}{10}$

Этап 11.13.2

Умножим $197$ на $25$ .

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

Десятичная форма:

$1.70138295 \dots$