Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (\frac{x}{6}) \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x}{6} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4$ .

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 (4)}} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4}} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1)$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1)$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{3} e^{\frac{1}{4}} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

Этап 10.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и $e^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

Этап 10.6

Умножим $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Этап 10.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Этап 10.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$0.37870055 \dots$