Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\ln (x) \ln (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Этап 3

Вынесем степень $\frac{1}{2}$ в выражении $x^{\frac{1}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 5

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Этап 6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Развернем $\ln (8^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $\ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{2}}{\ln (8)}$

Этап 8.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)}$

Этап 8.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Десятичная форма:

$0.24044917 \dots$