Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (\frac{4}{3 x^{3}}) (2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{4}{3 x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Этап 2

Вынесем член $\frac{4}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot x \cdot x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + lim_{x \to 8} x)$

Этап 11.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим.

$\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4}{3 \cdot 8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{4}{3 \cdot 512} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.4

Умножим $3$ на $512$ .

$\frac{4}{1536} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.5

Сократим общий множитель $4$ и $1536$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{1536} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1536$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Умножим $2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (16 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.6.1.2

Умножим $16$ на $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (128 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.6.1.3

Умножим $128$ на $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.6.2

Умножим $3 \cdot 8 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.2.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 24 \cdot 8 + 8)$

Этап 12.6.2.2

Умножим $24$ на $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 192 + 8)$

Этап 12.7

Добавим $1024$ и $192$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1216 + 8)$

Этап 12.8

Добавим $1216$ и $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot 1224$

Этап 12.9

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Вынесем множитель $24$ из $384$ .

$\frac{1}{24 (16)} \cdot 1224$

Этап 12.9.2

Вынесем множитель $24$ из $1224$ .

$\frac{1}{24 \cdot 16} \cdot (24 \cdot 51)$

Этап 12.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{24 \cdot 16} \cdot (24 \cdot 51)$

Этап 12.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{16} \cdot 51$

Этап 12.10

Объединим $\frac{1}{16}$ и $51$ .

$\frac{51}{16}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{51}{16}$

Десятичная форма:

$3.1875$