Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{- 6 x}{x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Этап 1

Вынесем член $- 6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 6 lim_{x \to - 8} \frac{x}{x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{2} - \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 6 x}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 6 x}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 6 x}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 6 x}}$

Этап 8

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 6 \frac{lim_{x \to - 8} x}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 lim_{x \to - 8} x}}$

Этап 9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$- 6 \frac{- 8}{{(- 8)}^{2} - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 \cdot - 8}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{{(- 8)}^{2} - 6 \cdot - 8}}$

Этап 10.1.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{64 - 6 \cdot - 8}}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 6$ на $- 8$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{64 + 48}}$

Этап 10.1.4

Добавим $64$ и $48$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{112}}$

Этап 10.1.5

Перепишем $112$ в виде $4^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{16 (7)}}$

Этап 10.1.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - \sqrt{4^{2} \cdot 7}}$

Этап 10.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 6 \frac{- 8}{64 - (4 \sqrt{7})}$

Этап 10.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{- 8}{64 - 4 \sqrt{7}}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $64 - 4 \sqrt{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$- 6 \frac{4 (- 2)}{64 - 4 \sqrt{7}}$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 16 - 4 \sqrt{7}}$

Этап 10.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{7}$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 16 + 4 (- \sqrt{7})}$

Этап 10.2.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (16) + 4 (- \sqrt{7})$ .

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 (16 - \sqrt{7})}$

Этап 10.2.2.4

Сократим общий множитель.

$- 6 \frac{4 \cdot - 2}{4 (16 - \sqrt{7})}$

Этап 10.2.2.5

Перепишем это выражение.

$- 6 \frac{- 2}{16 - \sqrt{7}}$

Этап 10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 6 (- \frac{2}{16 - \sqrt{7}})$

Этап 10.4

Умножим $\frac{2}{16 - \sqrt{7}}$ на $\frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}$ .

$- 6 (- (\frac{2}{16 - \sqrt{7}} \cdot \frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}))$

Этап 10.5

Умножим $\frac{2}{16 - \sqrt{7}}$ на $\frac{16 + \sqrt{7}}{16 + \sqrt{7}}$ .

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{(16 - \sqrt{7}) (16 + \sqrt{7})})$

Этап 10.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{256 + 16 \sqrt{7} - 16 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}})$

Этап 10.7

Упростим.

$- 6 (- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{249})$

Этап 10.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (16 + \sqrt{7})}{249}$ в числитель.

$- 6 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{249}$

Этап 10.8.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{249}$

Этап 10.8.3

Вынесем множитель $3$ из $249$ .

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{3 \cdot 83}$

Этап 10.8.4

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{3 \cdot 83}$

Этап 10.8.5

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Этап 10.9

Объединим $- 2$ и $\frac{- 2 (16 + \sqrt{7})}{83}$ .

$\frac{- 2 (- 2 (16 + \sqrt{7}))}{83}$

Этап 10.10

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{4 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4 (16 + \sqrt{7})}{83}$

Десятичная форма:

$0.89859042 \dots$