Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{5 - 2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x^{2} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 - 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 - lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Этап 3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 - 2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Этап 5

Вынесем степень $\frac{3}{2}$ в выражении $x^{\frac{3}{2}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{5 - (2 \cdot 8^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{5 - (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.3.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{\frac{9}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 - 2^{1 + \frac{9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{5 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.7

Добавим $2$ и $9$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{192 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{192 - 4}$

Этап 11.2.4

Вычтем $4$ из $192$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{188}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{188}$

Десятичная форма:

$- 0.21412145 \dots$