Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 7 x + 6 - 2 x^{3} \div 3 + 14 x + x^{2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 6

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $7$ на $8$ .

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 512 + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.3

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $512$ на $- 1$ .

$56 + 6 - 512 (\frac{2}{3}) + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.3.2

Объединим $- 512$ и $\frac{2}{3}$ .

$56 + 6 + \frac{- 512 \cdot 2}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.3.3

Умножим $- 512$ на $2$ .

$56 + 6 + \frac{- 1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Этап 9.1.5

Умножим $14$ на $8$ .

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 8^{2}$

Этап 9.1.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Запишем $56$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{56}{1} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{56}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{56}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.4

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.5

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.6

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Этап 9.2.7

Запишем $112$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} + 64$

Этап 9.2.8

Умножим $\frac{112}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 64$

Этап 9.2.9

Умножим $\frac{112}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 64$

Этап 9.2.10

Запишем $64$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1}$

Этап 9.2.11

Умножим $\frac{64}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.12

Умножим $\frac{64}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64 \cdot 3}{3}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56 \cdot 3 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $56$ на $3$ .

$\frac{168 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.3

Умножим $112$ на $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 64 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.4

Умножим $64$ на $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 192}{3}$

Этап 9.5

Добавим $168$ и $18$ .

$\frac{186 - 1024 + 336 + 192}{3}$

Этап 9.6

Вычтем $1024$ из $186$ .

$\frac{- 838 + 336 + 192}{3}$

Этап 9.7

Добавим $- 838$ и $336$ .

$\frac{- 502 + 192}{3}$

Этап 9.8

Добавим $- 502$ и $192$ .

$\frac{- 310}{3}$

Этап 9.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{310}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{310}{3}$

Десятичная форма:

$- 103.\overline{3}$