Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 3 x - \sqrt[3]{27 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} \sqrt[3]{27 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt[3]{27 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{lim_{x \to 8} 27 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{lim_{x \to 8} 27 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 5

Вынесем член $27$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{27 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{27 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{27 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{27 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt[3]{27 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt[3]{27 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt[3]{27 \cdot 8^{3} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt[3]{27 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt[3]{27 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{2} + 8 + 1}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $3$ на $8$ .

$24 - \sqrt[3]{27 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{2} + 8 + 1}$

Этап 11.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$24 - \sqrt[3]{27 \cdot 512 - 2 \cdot 8^{2} + 8 + 1}$

Этап 11.3

Умножим $27$ на $512$ .

$24 - \sqrt[3]{13824 - 2 \cdot 8^{2} + 8 + 1}$

Этап 11.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$24 - \sqrt[3]{13824 - 2 \cdot 64 + 8 + 1}$

Этап 11.5

Умножим $- 2$ на $64$ .

$24 - \sqrt[3]{13824 - 128 + 8 + 1}$

Этап 11.6

Вычтем $128$ из $13824$ .

$24 - \sqrt[3]{13696 + 8 + 1}$

Этап 11.7

Добавим $13696$ и $8$ .

$24 - \sqrt[3]{13704 + 1}$

Этап 11.8

Добавим $13704$ и $1$ .

$24 - \sqrt[3]{13705}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$24 - \sqrt[3]{13705}$

Десятичная форма:

$0.06906429 \dots$