Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 2 x - 7 - \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 7 - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 5}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7 - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 5}$

Этап 3

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 5}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 8 x - 5}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Этап 9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 \cdot 8 - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 \cdot 8 - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$2 \cdot 8 - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 1 \cdot 7 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$16 - 7 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$16 - 7 - \sqrt{4 \cdot 64 + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.4

Умножим $4$ на $64$ .

$16 - 7 - \sqrt{256 + 8 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.5

Умножим $8$ на $8$ .

$16 - 7 - \sqrt{256 + 64 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$16 - 7 - \sqrt{256 + 64 - 5}$

Этап 11.1.7

Добавим $256$ и $64$ .

$16 - 7 - \sqrt{320 - 5}$

Этап 11.1.8

Вычтем $5$ из $320$ .

$16 - 7 - \sqrt{315}$

Этап 11.1.9

Перепишем $315$ в виде $3^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.9.1

Вынесем множитель $9$ из $315$ .

$16 - 7 - \sqrt{9 (35)}$

Этап 11.1.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$16 - 7 - \sqrt{3^{2} \cdot 35}$

Этап 11.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$16 - 7 - (3 \sqrt{35})$

Этап 11.1.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$16 - 7 - 3 \sqrt{35}$

Этап 11.2

Вычтем $7$ из $16$ .

$9 - 3 \sqrt{35}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$9 - 3 \sqrt{35}$

Десятичная форма:

$- 8.74823934 \dots$