Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{x^{3}})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Этап 1.4

Внесем предел под знак радикала.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Этап 1.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Этап 1.7

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{x^{3}})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{x^{3}}$ в виде $e^{\ln (x^{x^{3}})}$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{x^{3}})})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{x^{3}})$ , вынося $x^{3}$ из логарифма.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{x^{3} \ln (x)})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \ln (x)})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Этап 3.4

Внесем предел под знак логарифма.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{512 \cdot \ln (8)})$

Этап 5.3.2

Упростим $512 \cdot \ln (8)$ путем переноса $512$ под логарифм.

$3 \cdot (2 - 6 e^{\ln (8^{512})})$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{512})$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 2 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Этап 5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Этап 5.6

Умножим $- 6$ на $3$ .

$6 - 18 \cdot 8^{512}$