Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x^{2} + \sin (x) \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} \sin (x) \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} \sin (x) \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} \sin (x) \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}})$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot \sin (\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}})$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot \sin (\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}})$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot \sin (\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}})$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{2} + \sin (lim_{x \to 8} x) \cdot \sin (\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}})$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{2} + \sin (8) \cdot \sin (\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}})$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8^{2} + \sin (8) \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$64 + \sin (8) \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Этап 10.1.2

Найдем значение $\sin (8)$ .

$64 + 0.1391731 \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Этап 10.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$64 + 0.1391731 \cdot \sin (\frac{1}{64})$

Этап 10.1.4

Найдем значение $\sin (\frac{1}{64})$ .

$64 + 0.1391731 \cdot 0.0002727$

Этап 10.1.5

Умножим $0.1391731$ на $0.0002727$ .

$64 + 0.00003795$

Этап 10.2

Добавим $64$ и $0.00003795$ .

$64.00003795$