Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x - 2^{2} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x - 5}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 2^{2} - lim_{x \to 5} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - lim_{x \to 5} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 2^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - 2^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{5 - 4 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{5 - 4 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x - 2^{2} - 1} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 2^{2} - 1]}$

Этап 1.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 \cdot 4 - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x - 1 \cdot 4 - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1 + 0 + 0}$

Этап 1.3.11

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1 + 0}$

Этап 1.3.11.2

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 5} 1$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$1$